Graduate course on Bridgeland Stability Conditions
Tentative syllabus:
Week 1:
Week 2:
Week 3:
Break, esercizi parte 1.
Week 4:
Week 5:
Week 6:
- Slope stabilita’ su curve, filtrazioni di HN (con splitting della coppia di torsione standard), filtrazioni di JH. Spazi di moduli, setup del problema, hint di costruzione via elementi di GIT
- Nozioni equivalenti di stabilita’: la stabilita’ di Gieseker, relazione con la slope stability su curve. Generalizzazioni in dimensione piu’ alta, twist via classe di Brauer. Spazi di moduli di fasci in dimensione piu’ alta, e il caso dello schema di Hilbert di punti su superfici come spazio dei moduli.
- Elementi di categorie abeliane, esempi, teorema di immersione di Mitchell. Stabilita’ su categorie abeliane alla Bridgeland, il poligono di HN, esistenza delle filtrazioni di HN .
Week 2:
- Esistenza delle filtrazioni di HH parte II, Funtori su Coh, esattezza, funtori derivati e risoluzioni acicliche (non in maniera assiomatica). La categoria derivata, costruzione: motivare la costruzione usando il fatto che vogliamo che le risoluzioni acicliche valgano come l’oggetto che risolvono e basta. Categorie triangolate, assiomi.
- Costruzione della categoria derivata. La categoria derivata e’ una categoria derivata: triangoli e dimostrazione che gli assiomi valgono.
- Funtori derivati, funtori di Serre, qualche esempio. Esempi di categorie triangolate che non sono categorie derivate.
- t-strutture alla BBD, t-strutture limitate. Cuore di una t-struttura, esempi: la t-struttura banale, la categoria degli spettri (per mostrare che la categoria derivata di un certo cuore non e’ equivalente alla categoria di partenza), due parole sulla t-struttura perversa. Coppie di torsione, tilting theory. La coppia di torsione (Torsione, torsion-free) e’ una coppia di torsione. La coppia di torsione (fattori di HN > t, fattori di HN <= t) e’ una coppia di torsione.
Week 3:
- Condizioni di stabilita’ su categorie triangolate come coppia di carica central e cuore di una t-struttura. Slicings. Condizioni di stabilita’ come coppia di carica centrale e slicing, equivalenza delle due definizioni. L’insieme delle condizioni di stabilita’ ha una topologia naturale. L’insieme delle condizioni di stabilita’ ha struttura di varieta’ complessa. Dimostrazione del teorema. Le due azioni su Stab(D).
- Esempi: la varieta’ di stabilita’ di P^1. La varieta’ di stabilita’ di una curva ellittica.
Break, esercizi parte 1.
Week 4:
Week 5:
Week 6: